Внешний порог
В качестве прелюдии к экстраполяции множества С давайте припомним кое-что из истории. Кантор представил миру множество С, едва покинув поле своей прежней деятельности — изучение тригонометрических рядов. Поскольку такие ряды тесно связаны с периодическими функциями, единственная доступная им экстраполяция заключается в бесконечном повторении. Вспомним теперь такие говорящие термины, как внешний и внутренний предел, которые мы в главе 6 позаимствовали из теории турбулентности. Под этими терминами понимают размеры е и О,, соответственно наименьшего и наибольшего элемента множества, — можно сказать, что Кантор решил ограничиться порогом О, = 1. На fc-м этапе построения е = 3 , однако для самого С порог е = 0. Для получения любого другого П < со — например, приличествующего ряду Фурье значения 27г, — необходимо увеличить периодическую канторову пыль в П раз.
Однако при таком повторении разрушается самоподобие, которым мы в настоящем эссе весьма дорожим. Чтобы этого избежать, следует соблюсти два простых правила: инициатор используется только для экстраполяции, а сама экстраполяция происходит в виде обратного или восходящего каскада. На первом этапе множество С увеличивается в 1/г = 3 раза и размещается на интервале [0, 3]. В результате получаем множество, включающее в себя множество С и его копию, смещенную вправо и отделенную от С новой тремой, длина которой равна 1. На втором этапе увеличиваем получившееся множество снова в 3 раза и размещаем результат на интервале [0, 9]. Получаем множество С плюс три его копии, смещенные вправо и разделенные двумя новыми тремами длины 1 и одной новой тремой длины 3. Дальнейшие этапы восходящего каскада увеличивают множество С с возрастающим коэффициентом подобия вида 3fe.
При желании можно чередовать, скажем, два этапа интерполяции и один этап экстраполяции и т. д. При таком построении каждая серия из трех этапов увеличивает внешний порог П в 3 раза и уменьшает внутренний порог е в те же 3 раза.
< Отрицательная ось в такой экстраполированной пыли остается пустой — бесконечная трема. Соответствующее понятие мы обсудим позже, в главе 13, где мы рассмотрим (бесконечные) континенты и бесконечные же кластеры. ►