Вселенная Фурнье
Нам остается лишь построить фрактал, который удовлетворял бы правилу М (г) ос RD, и посмотреть, как он будет согласовываться с общепринятыми взглядами на Вселенную. Первая подробно описанная модель такого рода была предложена Э. Э. Фурнье д'Альбом (см. главу 40). Хотя книга Фурнье [152] представляет собой по большей части художественный вымысел, замаскированный под научное исследование, в ней все же содержится несколько чрезвычайно интересных соображений, которые мы вскоре обсудим. Сначала же, как мне кажется, следует описать структуру, предложенную Фурнье.
Начинаем построение с правильного восьмигранника, проекция которого представлена в центре рис. 141. Проекция показывает четыре угла квадрата, диагональ которого составляет 12 «единиц», и центр этого квадрата. Однако у восьмигранника есть еще две точки над и под нашей плоскостью на перпендикуляре, проведенном через центр квадрата, на одинаковом расстоянии в 6 «единиц» от этого центра.
Далее каждая точка заменяется шаром радиуса 1, который мы будем рассматривать как «звездный агрегат нулевого порядка». Наименьший шар, содержащий в себе все 7 первоначальных шаров, назовем «звездным агрегатом первого порядка». Агрегат второго порядка получается увеличением агрегата первого порядка в 1/г = 7 раз и заменой каждого из новых шаров радиуса 7 копией агрегата первого порядка. Аналогичным образом, агрегат третьего порядка получается увеличением агрегата второго порядка в 1/г = 7 раз и заменой каждого из шаров копией агрегата второго порядка. И так далее.
Короче говоря, при переходе между соседними порядками агрегации как число точек, так и радиус шаров увеличивается в 1/г = 7 раз. Следовательно, для всякого значения R, которое является радиусом какого-либо агрегата, функция Mq (R), определяющая количество точек, содержащихся в шаре радиуса R, имеет вид Mq (R) = R. Для промежуточных R функция Mq (R) принимает меньшие значения (достигая R/7), однако, согласно общей тенденции, Mq (R) ос R.
Возможно также интерполировать агрегаты нулевого порядка последовательными этапами до агрегатов порядка —1, —2 и т. д. На первом этапе заменим каждый агрегат нулевого порядка копией агрегата первого порядка, уменьшенной в отношении 1/7, и так далее. При таком построении отношение М$ (i?) ос R остается истинным для все меньших значений R. После бесконечной экстра- и интерполяции мы получаем самоподобное множество размерности D = In 7/ In 7 = 1.
Кроме того, размерность D = 1 объекта в 3-пространстве вовсе не обязывает его непременно быть прямой линией да и любой другой спрямляемой кривой. Ему даже не обязательно быть связным. Каждая размерность D совместима с любой меньшей либо равной по величине топологической размерностью. В частности, топологическая размерность бесконечной в обе стороны вселенной Фурнье равна 0, так как она является вполне несвязной «пылью».