Фрактальная геометрия природы

Генерация броуновского рельефа

admin — Wed, 10 Mar 2010 13:19:26 +0000

Весьма печально, что для моделирования реальной поверхности оказывается недостаточно простых броуновского рельефа (размерность D = 5/2) и береговых линий (размерность D = 3/2) — их можно было бы легко объяснить. В самом деле, броуновская функция представляет собой превосходное приближение «пуассоновского» рельефа, который образуется путем наложения независимых прямолинейных разломов. Берется горизонтальное плато и разламывается вдоль прямой, выбранной случайным образом. Затем, также случайно, выбирается разница между уровнями высоты двух сторон получившегося утеса — например, ±1 с равными вероятностями (гауссово распределение). После этого начинаем все сначала, причем за к-м этапом следует деление на ук (вследствие чего размер каждого отдельного утеса становится пренебрежимо мал по сравнению с общей суммой размеров остальных утесов).
Результат, получаемый при продлении описанной процедуры в бесконечность, представляет собой обобщение обыкновенного пуассоновского процесса во времени. Нет необходимости вдаваться в математические или физические детали, чтобы увидеть, что в этом рассуждении затрагивается, по меньшей мере, один аспект тектонической эволюции.
Так как механизм этот очень прост, было бы удобно считать, что когда-то очень давно, когда Земля пребывала в более «нормальном» состоянии, вся ее поверхность имела броуновский рельеф с размерностью D = 5/2. Однако эту тему я предлагаю на время отложить — мы вернемся к ней чуть позже.

Броуновские Пангея и Панталассия

admin — Tue, 02 Mar 2010 13:20:27 +0000

Насколько хорошо вышеописанный вариант броуновского рельефа соответствует данным наблюдений? Исходя из сегодняшних очертаний континентов и океанов, размерность D оказывается неверной, а значит, соответствие следует признать неудовлетворительным.
С другой стороны, тектоника плит (теория раскола и дрейфа континентов) позволяет перенести наш тест на адекватность на 200 миллионов лет в прошлое, на только что сформировавшуюся Землю. Так как свидетельствами очевидцев мы в этом случае не располагаем, вероятность того, что наш тест провалится, резко уменьшается. Согласно Вегенеру — а его взгляды находят довольно широкую поддержку (см., например, [605]) — вся суша была некогда объединена в один большой континент, Пангею, а океаны образовывали один сверхокеан, Панталас-сию.
Подобно Пангее, рельеф, изображенный на рис. 375, представляет собой некое пятно суши, изрезанное здесь и там обширными полостями. Сходство это, однако, поверхностно и обманчиво. Броуновский рельеф на сфере демонстрирует, на первый взгляд, тенденцию к чрезмерному усилению очень крупномасштабных деталей, и происходит это в результате комбинации геометрических особенностей сферы и того факта, что броуновские правила для случая сферы предполагают сильную положительную корреляцию для углов, меньших 60°, и сильную отрицательную корреляцию между диаметрально противоположными (антиподаль-ными) точками. При внимательном рассмотрении, сосредоточенном на менее глобальных особенностях, соответствие между моделью и реальностью еще более ослабевает; для углов, скажем, меньших 30°, броуновская береговая линия на сфере становится неотличимой от броуновской береговой линии на плоскости — со всеми сопутствующими последней недостатками.
Фрактальные хлопья, в которых функция высоты совпадает с функцией высоты описанной выше Пангеи (за исключением того, что здесь масштаб порядка величины составляет половину радиуса), похожи на отличающиеся иррегулярными формами спутники внешних планет. В противоположность фигурам, изображенным на рис. 25 и 26, такие хлопья не окружены «плавучими обломками», и следовательно, размерность D является в этом случае только мерой иррегулярности, но не фрагментации.

Пространственное распределение нефти

admin — Sun, 28 Feb 2010 13:23:14 +0000

Теперь, когда мой «принцип», провозглашающий масштабную инвариантность рельефа, выдержал всесторонние испытания, настала пора рассмотреть одно следствие из него. Как будет показано в главе 38, можно ожидать, что любая величина, так или иначе связанная с этим рельефом, будет следовать гиперболическому распределению вероятностей (такому, например, как закон Ципфа или закон Парето). Так и в самом деле происходит довольно часто. По правде говоря, моему исследованию береговых линий (см. главу 5), в котором было высказано предположение о том, что рельеф Земли масштабно-инвариантен, предшествовала работа 1962 г.[338], в которой я обнаружил, что распределения, связанные с нефтью и другими природными ресурсами, являются гиперболическими. Этот результат противоречит общепринятому мнению, согласно которому распределение указанных величин следует логарифмически нормальному закону. Различие чрезвычайно значительно, так как при гиперболическом распределении получается гораздо больше ресурсов, чем при логарифмически нормальном. В 1962 г. меня мало кто услышал, однако я пока не сдался.

Площади островов, озер и чаш

admin — Mon, 15 Feb 2010 13:23:47 +0000

Как указано в главе 13, изменчивость проективных площадей А океанических островов является очевидной характеристикой каждой карты, часто даже более выразительной, нежели очертания береговых линий. Мы отметили также, что Корчак [279] полагает распределение площадей А гиперболическим: Рг(А > а) = Fa~B. (Теперь нам уже ничто не препятствует заменять № на Рг.) Наконец, мы показали, что это эмпирическое заключение верно в том случае, когда береговая линия самопо-добна. Теперь мы можем добавить: тем более достаточно предположить, что самоподобен рельеф.
Нет никакого сомнения, что соотношение 2В = D применимо не только к неслучайным коховым побережьям, рассмотренным в главе 13, но и к дробным броуновским нуль-множествам. Однако доказательство этого факта остается на данный момент отчасти эвристическим. Распределение же, соответствующее дробному броуновскому рельефу с Н = = 0, 800, и впрямь подходит очень близко к эмпирическим данным относительно всей Земли.
Размерность Dc каждого отдельно взятого дробного броуновского острова пока не известна.

Понятие чаши

admin — Fri, 05 Feb 2010 13:24:54 +0000

Рассмотрим теперь второй озерный суррогат — тот, что мы обозначили нейтральным геометрическим термином чаша.
Для определения этого понятия представим себе некий ландшафт из водонепроницаемого материала, каждое углубление в котором заполнено водой точно до краев. Для того, чтобы выбраться из углубления, капле воды приходится двигаться вверх, а затем вниз. Однако если капля добавляется извне, то она вполне может ускользнуть, вовсе не двигаясь вверх, — только по горизонтали или вниз. Каждое углубление обладает некоторой положительной площадью, следовательно, количество углублений либо конечно, либо бесконечно, но счетно. Ничто не мешает нам допустить, что различные стоки могут быть расположены на разной высоте. Линия уровня рельефа на точной высоте стока состоит из определенного количества непересекающихся замкнутых кривых и еще одной замкнутой кривой, содержащей точку самокасания. На чуть большей высоте самокасание пропадает. А на чуть меньшей высоте петля распадается на две петли, одна из которых вложена в другую.
Углубления из вышеописанного построения, заполненные водой, мы будем называть чашами.

Реки и водоразделы

admin — Sun, 24 Jan 2010 13:27:20 +0000

В первом приближении (играющем центральную роль в главе 7) я предположил, что реки и водоразделы образуют сопряженные заполняющие плоскость древовидные фигуры. Вообще говоря, такое описание можно применить только к картам; как только мы вводим высоту, замечательная симметрия между деревьями рек и водоразделов нарушается. В самом деле, если пренебречь озерами, то точки, принадлежащие дереву водораздела, всегда являются либо локальными максимумами (холмами), либо локальными седловыми точками (перевалами), тогда как точки дерева реки никогда не бывают ни локальными минимумами, ни седловыми точками. А поскольку в броуновских и дробных броуновских моделях локальные минимумы безусловно присутствуют, можно с полной уверенностью сказать, что деревьев рек в них нет, — и это еще один удар по моим броуновским моделям.
После того, как чаши заполнены, рек, как таковых, уже не остается — лишь ветвящиеся цепочки озер (бесконечно мелких), похожие на кактусы с дисковидными ветвями. Что касается водоразделов, то они образуют дерево; я полагаю, что это дерево представляет собой ветвящуюся кривую с размерностью D < 2, однако оно может оказаться и кривой с положительной площадью и, как следствие, размерностью D = 2. Возможны также и другие, самые различные, варианты, но их лучше приберечь до более подходящего случая.

Тремы в интервале. Линейная пыль Леви

admin — Wed, 13 Jan 2010 13:28:33 +0000

Структура этой группы глав несколько запутана. Понятия случайных трем и текстуры сойдутся вместе только в главе 35, где будет показано, как можно управлять текстурой. В главе 34 понятие текстуры вводится вне особой связи с тремами; здесь описаны факты, которые можно было бы разбросать по нескольким предыдущим главам, однако ради сохранения целостности рассмотрения я предпочел собрать их в одном месте.
Что касается глав 31-33, то текстура в них совсем не упоминается, а тремы активно используются для построения случайных фракталов, многие из которых встретятся нам впервые. Новые фракталы (как и те, что рассматривались в предыдущих — броуновских — главах) свободны от временных и/или/ пространственных решеток.
В настоящей главе мы поговорим о случайных пылевидных множествах, ограниченных прямой, и попытаемся применить их к решению проблемы шума, с которой мы впервые столкнулись в главе 8, а также подготовим почву для их обобщения на плоскость и пространство; различные варианты такого обобщения будут описаны дальше, в главах 32 и 33.
Главная практическая цель глав 32, 33 и 35 — внести вклад в построение модели скоплений галактик; впервые возможности решения этой проблемы мы обсуждали в главе 9.

Условно стационарные ошибки

admin — Sat, 02 Jan 2010 13:29:03 +0000

В главе 8 мы с восторгом обнаружили, что канторова пыль представляет собой вполне приемлемую модель главных характерных особенностей некоторых избыточных шумов в первом приближении. Однако мы даже не попытались проверить действительное соответствие модели реальным данным. Причина, очевидно, заключается в том, что мы заранее знали — никакого соответствия здесь нет и в помине. Канторова пыль слишком правильна для того, чтобы служить точной моделью любого из известных мне естественных иррегулярных феноменов. В частности, коэффициенты самоподобия канторовой пыли ограничены величинами вида гк. Кроме того, способ построения канторовой пыли также накладывает свой отпечаток (весьма неудачный, надо сказать): канторово множество не может быть совмещено само с собой посредством сдвига — иными словами, оно не является инвариантным относительно сдвига.
Иррегулярность можно легко привнести — для этого существует рандомизация. Что касается инвариантности при сдвигах, то от нашей искомой замены канторову множеству потребуется лишь инвариантность в статистическом смысле. В рамках вероятностной терминологии это означает, что множество должно быть стационарным или, по меньшей мере, удовлетворять некоторому подходящим образом смягченному условию стационарности.
В главе 23 было предложено весьма простое средство для частичного достижения этой цели. В настоящей главе мы продвинемся еще на три шага вперед.

Субординация. Упорядоченные галактики

admin — Thu, 31 Dec 2009 13:29:32 +0000

Центральной темой этой и следующей глав являются скопления галактик (эту тему мы уже затрагивали в главах 9, 22 и 23). Пользуясь известными методами, мы обобщим пылевидные множества из предыдущей главы на плоскость и пространство. В настоящей главе мы будем в основном заниматься пространственной пылью Леви. Следуя Бохнеру, мы введем эти фракталы посредством «обработки» броуновского движения по методу «субординации». Вдобавок к пыли Леви мы познакомимся с полетом Леви, представляющим собой нестандартное случайное блуждание. Начинается глава с неформального предисловия, посвященного кластерам случайного блуждания. Далее, путем обобщения на неслучайные структуры объясняется и обосновывается метод субординации. Утверждения, сделанные в предисловии, обосновываются в последнем разделе.

Субординация и случайные фракталы

admin — Sat, 12 Dec 2009 13:30:44 +0000

Для более глубокого понимания природы фрактальной субординации применим ее к некоторым фрактальным кривым Коха и Пеано. (Как это ни странно, но настоящее обсуждение является, по всей видимости, первым случаем упоминания субординации в неслучайном контексте.)
Идея заключается в модификации этих кривых посредством замены генератора (при неизменном инициаторе) на некоторое подмножество исходного генератора. Такая операция замещает предельное фрактальное множество (которое мы будем называть субординандом) на некоторое субординатное подмножество (или субординат). Рассмотрим сначала примеры, а затем введем весьма важное правило — правило умножения размерностей.